PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

IGUALDAD

Es la expresión de que dos cantidades o expresiones  algebraicas tienen el mismo valor.

1.  a = b si y solo si a – b = 0           

DESIGUALDAD

2.  a < b si y solo si a – b < 0

3.  a > b si y solo si a – b >0

Ejemplos de la propiedad de desigualdad

a<b si y solo si a-b<0

a=3                                                         a=37

b=9                                                         b=40

3<9                                                         37<40

3<9<0                                                     37-40<0

-6<0                                                        -3<0

a>b si y solo si a-b>0

a=8                                                         a=34                                               a=49

b=4                                                         b=27                                               b=12

8>4                                                         34>27                                            29>12

8-4>0                                                      34-27>0                                         49-12>0

4>0                                                         7>0                                                37>0

ASOCIATIVA (sumas y multiplicaciones)

X + Y + Z= (X + Y) + Z = X+ (Y + Z)

Ejemplos:

A) 7 + 9 + 3 = 19

   (7 + 9) = 16 + 3 = 19

   (9 + 3) = 12 + 7 = 19

B) 15 + 7 + 2 = 24

   (15 + 7) = 22 + 2 = 24

   (7 + 2) = 9 + 15 = 24

C) x + y + z =

     x=21    y=32   z=17

     21 + 32 + 17 = 70

     (21 + 32) = 53 + 17 = 70

D) 9 * 7 * 3 = 189

    (9 * 7) = 63 * 3 = 189

    (7 * 3) = 21 * 9 = 189

E) 15 * 7 * 2 = 210

    (15 * 7) = 105 * 2 =210

    (7 * 2) = 14 * 15 = 210

F) x * y * z =

     x= 21    y= 32    z= 17

      21 * 32 * 17 = 11424

     (21 * 32) = 672 * 17 = 11424

     (32 * 17) = 544 * 21 = 11424

CONMUTATIVA (sumas y multiplicaciones)

X + Y = Y +X

Ejemplos:

A) 7 * 21 = 147

    21 * 7 = 147

B) 3 * 31 = 93

    31 * 3 = 93

C) 41 * 21 = 861

     21 * 41 = 861

D) 2/7 * 9/5 = 861

     9/5 * 2/7 = 861

E) 3 + 4 = 7

    4 + 3 = 7

F) 5 + 6 = 11

    6 + 5 = 11

G) 51 + 109 = 160

     109 + 51 = 160

H) 3/9 + 10/11 = 33 + 90/99 = 123/99 = 41/33

     10/11 + 3/9 =  90 + 33/99 = 123/99 = 41/33

NEUTRO (suma (0) y multiplicación (1))

Hay números reales distintos que representamos por 0 y 1 tales que para todo se verifica que:

0 + X = 0          1X = X

Ejemplos:

A) 5 + 0 = 5                                             C) 5 * 1 = 5

B) 21 + 0 = 21                                         D) 21 * 1 = 21

OPUESTO O INVERSO

Para cada número real X hay un número real llamado opuesto de X, que representamos por -X, tal que  X + (-X) = 0

Para cada número real X distinto de 0, X ≠ 0 hay un número real que llamamos inverso de X, que representamos por X⁻¹ tal que  X X⁻¹ = 1

Ejemplos de opuesto:

X + (-X) = 0  es como la propiedad igualdad (a = b / a – b = 0).

A) x = y      x=21                                      B) d = w         w = 5

   21 = 21                                                     5 = 5

   21 -21 = 0                                                 5 – 5 = 0

 

Ejemplos de inverso:  1/a = a⁻¹

X X⁻¹ = 1

 a * 1/a  = 1                a/a = a * 1/a = a * a⁻¹ = 1

A) 21 * 21⁻¹ = 1

B) 37 * 1/37 * 37⁻¹  = 1

C) 71/71 = 1

DISTRIBUTIVA

(X + Y)Z = (XZ + YZ) para todos X; Y; Z; en R

Ejemplos:

A) (7 + 3)9 = (9*7) + (3*9)                             D) (49 + 21)9 = (49*21) + (21*9)

         (10)9 = 63 + 27                                                (70)9   =  441 + 189

            90   =   90                                                      630  =  630

B) (4 + 21)7 = (4*7) + (21*7)                         E) (3 + 47)11 = (3*11) + (47*11)

        (25)7   =   28 + 147                                         (50)11   = 517 + 33

            175  =  175                                                        550  =  550

C) (31 + 9)21 = (31*21) + (21*9)

          (40)21  =   651 + 189

              840   =   840

TRICOTOMIA

Para cada número real X se verifica una sola de las siguientes tres afirmaciones: X = 0, X es positivo, -X es positivo.

ESTABILIDAD

La suma y el producto de números positivos es también un número positivo.

ECUACIÓN

Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

Ejemplo:

3X – 5 = 6X + 1

3X – 6X = 5 +1

       -3X = 6

       X = 6/3

        X =  -2