jueves, 24 de septiembre de 2015
lunes, 14 de septiembre de 2015
a) 2x² + 5x – 3 > 0
(2x
– 1) (x + 3)
2x – 1
= 0 x + 3 = 0
X
= ½ x = -3
½ > x > -3
-3 < x < ½ (-3 , ½ ) intervalo abierto
|
Punto de prueba
|
Punto de
separación (2x – 1)(x + 3)
|
Signos
(2x – 1)(x + 3)
|
|
-4
|
- × -
|
+
|
|
0
|
- × +
|
-
|
|
1
|
+ ×
+
|
+
|
b) 4x² - 5x – 6 < 0
(4x
– 6) (x + 1)
4x –
6 = 0 x + 1 = 0
X = 6/4 = 3/2 x = -1
-1
< x < 3/2 (-1 , 3/2)
intervalo abierto
|
Punto de prueba
|
Punto de
separación (4x – 6)(x + 1)
|
Signos
(4x – 6)(x + 1)
|
|
-2
|
- × -
|
+
|
|
0
|
- × +
|
-
|
|
2
|
+ ×
+
|
+
|
l) -3 < 4x – 9 < 11
-3 +
9 < 4x – 9 + 9 < 11 – 9
6 < 4x < 2
6/4 < 4x/4 < 2/4
3/2 < x < 1/2 = 1/2 < x < 3/2
(1/2 , 3/2) Intervalo
abierto
m) 4 < 5 – 3x < 7
4 –
5 < 5 – 3x -5 < 7 – 5
-1
< -3x < 2
-1/-3 < -3x/-3 < 2/-3
1/3 < x < -2/3 = -2/3 < x < 1/3 (-2/3 , 1/3) intervalo abierto
DE SEGUNDO GRADO
X² - X < 6
X² - X – 6 < 0
Se factorisa
(X + 2)(X -3) < 0
X+2=0 x–3=0
X= -2 x= -3
-2 < x < 3 (-2,3) intervalo abierto
|
Punto de prueba
|
Punto de
separación (x + 2)(x – 3)
|
Signos
(x + 2)(x – 3)
|
|
-3
|
- × -
|
+
|
|
0
|
+ ×
-
|
-
|
|
4
|
+ ×
+
|
+
|
Comprobación: (-3 + 2) (-3 – 3)
= (-1) (-6) = 6
positivo
X² -5x
-6 > 0
(X –
6) (X + 1) > 0
X-6=0 X+1=0
X= 6 X= -1
6
> x > -1 = -1 < x < 6 (-1,6) intervalo abierto
|
Punto de prueba
|
Punto de
separación (x - 6)(x + 1)
|
Signos
(x - 6)(x + 1)
|
|
-2
|
- × -
|
+
|
|
0
|
- × +
|
-
|
|
7
|
+ ×
+
|
+
|
Ejemplos:
a) 7 ≤ x < 9
[7,8) intervalo semiabierto
b) 8 ≤ x ≤ 21 [8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21]
intervalo cerrado
c) 13 > x > 2 (3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) intervalo abierto
d) 2x – 7 < 4x – 2
2x
– 4x < 7 – 2
-2x
< 5
X > - 5/2 (- 5/2 , ∞ +)
e) x – 7 < 2x – 5
x – 2x < 7 – 5
-x < 2
X > -2 (-2, ∞ +) intervalo abierto
f) 3x – 5 < 4x – 6
3x
– 4x < 5 – 6
-x < -1
X > -1/-1
X > 1 (1, ∞+) intervalo
abierto
g) 5x – 3 > 6x – 4
5x
– 6x > 3 – 4
-1x > -1
X < -1/-1
X < 1 (-∞ , 1) intervalo abierto
h) 7x – 2 ≤ 9x + 3
7x – 9x ≤ 2 + 3
-2x ≤ 5
X ≥ -5/2 [ -5/2 , ∞ +) intervalo semiabierto
i) -5 ≤ 2x + 6 < 4
-5 -6 ≤ 2x + 6 – 6 < 4 – 6
-11 ≤ 2x < -2
-11/2 ≤ 2x/2 < -2/2
-11/2 ≤ x < -1 [-11/2 , -1) Intervalo semiabierto
j) -3 < 1 -6x ≤ 4
-3 – 1 < 1 – 6x -1 ≤ 4 -1
-4 < -6x ≤ 3
-4/-6 < -6x/-6 ≤ 3/-6
2/3 < x ≤ -1/2 = -1/2 ≤ x < 2/3 [-1/2 , 2/3) intervalo semiabierto
k) -4 < 3x + 2 < 5
-4
-2 < 3x + 2 – 2 < 5 – 2
-6 < 3x < 3
-6/3 < 3x/3 < 3/3
-2
< x < 1 (-2,1) intervalo
abierto
RECTA NUMÉRICA
¿CUÁLES SON LOS NÚMEROS REALES?
Son los que
pueden ser expresados por un número racional o irracional.
¿CÓMO LOS REPRESENTAMOS?
Números reales = R
Racionales = Q
Irracionales = I
Naturales = N
Fraccionarios = q
Enteros = Z
EJEMPLO DE
NÚMEROS REALES
1, 3, 5, 10,
20, 50, -34, -67, 1/2, %
CLASIFICACION DE LOS NUMEROS REALES
SUBCONJUNTO DE NUMEROS REALES A TRAVES DE INTERVALOS
Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los
números reales que están comprendidos entre dos cualquiera de sus elementos. Geométricamente los intervalos corresponden a
segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real. Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son
intervalos finitos, los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta
real son intervalos infinitos.
Los
intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos.
Sean a y b dos
números reales tales que a < b.
Intervalo cerrado
Es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los comprendidos
entre ambos.
[a, b] = { x / a £ x £ b}
INTERVALO ABIERTO
Es el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b.
(a, b) = {x / a < x < b}
INTERVALO SEMIABIERTO
A IZQUIERDA (O SEMICERRADO A DERECHA)
Es el conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos
entre a y b.
(a, b] = {x / a < x £ b}
INTERVALO SEMIABIERTO
A DERECHA (O SEMICERRADO A IZQUIERDA)
Es el conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos
entre a y b.
[a, b) = { x / a £ x < b}
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
IGUALDAD
Es la expresión de que dos cantidades
o expresiones algebraicas tienen el
mismo valor.
1.
a = b si y solo si a – b = 0
DESIGUALDAD
2. a < b si y solo si a – b < 0
3. a > b si y solo si a – b >0
Ejemplos de la
propiedad de desigualdad
a<b si y solo si
a-b<0
a=3 a=37
b=9 b=40
3<9 37<40
3<9<0 37-40<0
-6<0 -3<0
a>b si y solo si
a-b>0
a=8 a=34 a=49
b=4 b=27 b=12
8>4 34>27 29>12
8-4>0 34-27>0 49-12>0
4>0 7>0 37>0
ASOCIATIVA (sumas y multiplicaciones)
X + Y + Z= (X + Y) + Z
= X+ (Y + Z)
Ejemplos:
A) 7 + 9 + 3 = 19
(7 + 9) = 16 + 3 = 19
(9 + 3) = 12 + 7 = 19
B) 15 + 7 + 2 = 24
(15 +
7) = 22 + 2 = 24
(7 + 2) = 9 + 15 = 24
C) x + y + z =
x=21
y=32 z=17
21 + 32 + 17 = 70
(21 + 32) = 53 + 17 = 70
D) 9 * 7 * 3 = 189
(9 * 7) = 63 * 3 = 189
(7 * 3) = 21 * 9 = 189
E) 15 * 7 * 2 = 210
(15 * 7) = 105 * 2 =210
(7 * 2) = 14 * 15 = 210
F) x * y * z =
x= 21
y= 32 z= 17
21 * 32 * 17 = 11424
(21 * 32) = 672 * 17 = 11424
(32 * 17) = 544 * 21 = 11424
CONMUTATIVA (sumas y multiplicaciones)
X + Y = Y +X
Ejemplos:
A) 7 * 21 = 147
21 * 7 = 147
B) 3 * 31 = 93
31 * 3 = 93
C) 41 * 21 = 861
21 * 41 = 861
D) 2/7 * 9/5 = 861
9/5 * 2/7 = 861
E) 3 + 4 = 7
4 + 3 = 7
F) 5 + 6 = 11
6 + 5 = 11
G) 51 + 109 = 160
109 + 51 = 160
H) 3/9 + 10/11 = 33 + 90/99 = 123/99 = 41/33
10/11 + 3/9 = 90 + 33/99 = 123/99 = 41/33
NEUTRO (suma (0) y
multiplicación (1))
Hay números reales
distintos que representamos por 0 y 1 tales que para todo se verifica que:
0 + X = 0 1X = X
Ejemplos:
A) 5 + 0 = 5 C)
5 * 1 = 5
B) 21 + 0 = 21 D) 21 *
1 = 21
OPUESTO O INVERSO
Para cada número real
X hay un número real llamado opuesto de X, que representamos por -X, tal
que X + (-X) = 0
Para cada número real
X distinto de 0, X ≠ 0 hay un número
real que llamamos inverso de X, que representamos por X⁻¹ tal que X X⁻¹ = 1
Ejemplos de opuesto:
X + (-X) = 0 es como la propiedad igualdad (a = b / a – b
= 0).
A) x = y x=21 B) d = w w = 5
21 = 21 5 = 5
21 -21 = 0 5 – 5 = 0
Ejemplos de inverso: 1/a =
X X⁻¹ = 1
a * 1/a = 1 a/a = a * 1/a = a * a⁻¹ = 1
A) 21 * 21⁻¹ = 1
B) 37 * 1/37 * 37⁻¹ = 1
C) 71/71 = 1
DISTRIBUTIVA
(X + Y)Z = (XZ + YZ)
para todos X; Y; Z; en R
Ejemplos:
A) (7 + 3)9 = (9*7) +
(3*9) D) (49 +
21)9 = (49*21) + (21*9)
(10)9 = 63 + 27 (70)9 = 441
+ 189
90
= 90 630 = 630
B) (4 + 21)7 = (4*7) +
(21*7) E) (3 +
47)11 = (3*11) + (47*11)
(25)7
= 28 + 147 (50)11 = 517 + 33
175
= 175 550 = 550
C) (31 + 9)21 =
(31*21) + (21*9)
(40)21
= 651 + 189
840 =
840
TRICOTOMIA
Para cada número real
X se verifica una sola de las siguientes tres afirmaciones: X = 0, X es
positivo, -X es positivo.
ESTABILIDAD
La suma y el producto
de números positivos es también un número positivo.
ECUACIÓN
Es una igualdad en la
que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se
verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.
Ejemplo:
3X – 5 = 6X + 1
3X – 6X = 5 +1
-3X = 6
X = 6/3
X =
-2
Suscribirse a:
Entradas (Atom)