Función algebraica

2x + 5ax + 8bx

a) 2xb + 3ax + 9xa + 21ax

    2xb + 24ax + 9xa

b) (axb)(3ax)

    6x²ab

c) (2x + a)³

    (2x + a)²(2x+ a)

    (4x² + 4xa + a²)(2x + a)

    8x³ + 8x²a + 2xa² + 4x²a + 4xa² + a³

    8x³ + 12x²a + 6xa² + a³

POLINOMIAL

Es toda función que se puede expresar  x que tiende a p(x).

Ejemplo:

Funciones que podemos encontrar

Lineal = no tienen exponente

Polinomicas = exponente de 3 en adelante

Racionales = son las que requieren de una raíz

Cuadráticas = exponente cuadrado

Irracionales = son las que tienen raíz √x

Primer grado

cuadraticas

cubicas

Funciones trasendentes

No puede ligarse a la variable independiente y dependen de un valor

Log x

Ln x

Funciones trigonométrica

Sen = c.o/h

Cos = c.a/h

Tan = c.o/c.a

Cotangente = c.a/c.o

Secante = h/c.a

Coseno = h/c.o

Funciones inversas

7 = 1/7   

X = 1/x

Radian

El radian es la unidad de angulo plano en el sistema internacional de unidades. Representa el angulo central con una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio, sus símbolo es “rad”.

Es el angulo que necesita para que el arco cerrado tenga la misma medida del radio.

 r = radian = rad

diámetro = 2r

perímetro = 2∏rad

360ᵒ = 2∏r

180ᵒ = ∏rad

90ᵒ = ∏rad/2

45ᵒ = ∏rad/4

60ᵒ = ∏rad/3

30ᵒ = ∏rad/6

FUNCION INYECTIVA

una función es inyectiva si a elementos distintos del conjunto X (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto Y (codominio) de f . Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

g(x) = x² + 1

FUNCION SUBYECTIVA   

una funcion  es subyectiva si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

FUNCION REAL   

Es la función de todos los números reales

EJERCICIOS

Y = X² + 1

  

Y = 2x + 3

x	Y
-3 -2 -1 0 1 2 3	-3 -1 1 3 5 7    9

 

  

ejercicios:
a) f(x) = 1 - x⁴

  

x	Y
-3 -2 -1 0 1 2 3	-80 -15 0 1 0 -15   -80

 

 b) f(x) = 2x² + x

x	Y
-3 -2 -1 0 1 2 3	15 6 1 0 3 10   21

 

Ejercicios:

(g • f)(x) = g(f(x))

f(x) = (x – 3)/2

g(x) = √x

(g • f)(x) = g(f(x))                                         (f • g) = f(g(x))

g(x) = √x                                                      f(x) = (x – 3)/2

g(f(x)) = √(x – 3)/2                                       f(g(x)) = √x – 3/2

g(f(2))                                                           f(g(2))

g(f(2)) = √(2 – 3)/2                                       f(g(2)) = √2 – 3/2

g(f(2)) = √-1/2                                              f(g(2)) = √2 – 3/2

1) (g • f)(x) = g(f(x))

     f(x) = 6x/(x² - 9)

     g(x) = √3x

(g • f)(x) = g(f(x))                                         (f • g) = f(g(x))

g(x) = √x                                                      f(x) = 6x/(x² - 9)

g(f(x)) = √(3(6x/x² - 9)                                 f(g(x)) = 6√3x/(√x)² - 9

            = √18x/ x² - 9                                             = 6√3x/3x - 9

g(f(12))                                                         f(g(12))

g(f(x)) =√18(12)/ (12)² - 9                             f(g(x)) = 6√3(12)/3(12) - 9

g(f(x)) =√216/ (144 - 9                                  f(g(x)) = 6√36/27

g(f(x)) =√216/ (135                                       f(g(x)) = 6(6)/27

g(f(x)) =√8/5                                                 f(g(x)) = 36/27

2) p(x) = (x + 2)⁵

    g(x) = x⁵

    f(x) = x + 2

p(x) = (g(f(x)))

p(x) = (x + 2)⁵

3) g(x) = √(x + 3) + 1

    f(x) = √x

a) x = a

b) x = b + h

c) x = 27

(g • f)(x) = g(f(x))                                      (f • g) = f(g(x))

f(x) = √x                                                    g(x) = √(x + 3) + 1

g(f(x)) = √√x + 3) +1                                 f(g(x)) = √√x + 3 + 1

g(f(x)) = ⁴√x + √3  + 1                               f(g(x)) = ⁴√(x + 3) + √1

                                                                f(g(x)) = ⁴√(x + 3) + 1

-- x = a                                                   -- x=a

g(f(a)) = ⁴√a + √3  + 1                              f(g(a)) = ⁴√(a + 3) + 1

--x = b + h                                              --x = b + h

g(f(b + h)) = ⁴√b + h + √3  + 1                  f(g(b + h)) = ⁴√(b + h + 3) + 1

--x = 27                                                    --x = 27

g(f(27)) = ⁴√27 + √3  + 1                           f(g(27)) = ⁴√(27 + 3) + 1

g(f(27)) = 2.27 + 1.7  + 1                          f(g(27)) = ⁴√30   + 1

g(f(27)) = 4.97                                          f(g(27)) = 2.34   + 1

                                                                 f(g(27)) = 3.34

DIVERSOS METODOS PARA LAS GRAFICAS

Una función con una variable independiente y otra independiente se puede representar gráficamente en un eje de ordenadas y abscisas correspondiendo el valor de cada variable a la posición en los ejes. Normalmente se utiliza la variable X para el eje de abscisas y la variable y para el eje de ordenadas.

Para dibujar, construir o representar la gráfica de una función f se pueden seguir los pasos siguientes:

1.- Buscar el dominio de la función, Dom f(x)

2.- Se detectan aquellos valores x reales en que f sea discontinua, es decir, aquellos que no estén definidos en el dominio, y se procede a estudiar los limites cuando x tiene a x por la izquierda y por la derecha. De este modo, si x es un punto aislado y no un intervalo, se puede deducir hacia dónde tiende la función cuando pasa cerca del punto x.

3.- Buscar los límites cuando x tiende a infinito o menos infinito, para averiguar cuándo en el eje de abscisas se tiende al resultado del límite.

4.- Estudio de la monotonia. Calculando la primera derivada f'(x) e igualándola a cero, se obtienen los posibles candidatos a extremos de la función. Luego se procede a determinar si f(x) es creciente o decreciente entre dos puntos extremos.

5.- Se estudia la curvatura de f, igualando a cero esta vez la segunda derivada f(x), obteniéndose los posibles puntos de inflexion. Se estudia el signo en la f(x) en los intervalos.

OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones:

Sean f  y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

                                          

Resta de funciones:

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

                                          

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones:

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

                                          

Cociente de funciones:

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

                                                

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función:

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

                                             

¿QUE ES UNA FUNCION?

FUNCIONES

En matemática, una función (f) es una relacion entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

                          1 -------->   1

                          2 -------->   4

                          3 -------->   9

                          4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

                           1 -------->   1

                          2 -------->   4

                          3 -------->   9

                          4 --------> 16

                           x -------->   x².

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

                                           x --------> x²      o     f(x) = x² .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3² = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4,  f(4) = 16,   f(a) = a², etc.

UNIDA 2: FUNCIONES

Unidad 2:

Funciones

Son los valores  que se van sustituyendo de los dominios

Dominio:

Es el conjunto de elementos que hacen posible una función.

Rango:

Es el conjunto de elementos que son el reflejo o imagen de la relación.

Ejemplo:

f(x) = x²

(2,1,a,a+h)

f(2) = (2)² = 4

f(1) = (1)² = 1

f(a) = a²

f(a+h) = (a+h)² = a² + 2ah + h²

ejemplo2:

f(x) = x² - 2x

a) 4

b) 4+h

a) f(4) = (4)² - 2(4)                                          b) f(4+h) = (4+h)² - 2(4+h)

    f(4) = 16 – 8                                                    f(4+h) = (4)² + 2(4)h + h² -8 -2h

    f(4) = 8                                                            f(4+h) = 16 + 8h + h² -8 -2h

                                                                            f(4+h) = h² + 6h + 8

VOLUMEN = l d de una barilla

D = ∏r²                                                l = longitud

D = ∏(d/2)²                                         D = diámetro                     r = D/2

                                                             A = área                            A = ∏r²

V = l A = l ∏(d/2)²

V = x∏(d/2)²

V = x∏d²/4

V = (4)∏(0.1)²/4

V = 0.031 

ejemplo:

A = b x h

A = (x² + 2)(x)

A = x³ + 2x

X = a + 2

A(x) = x³ + 2x

A(a + 2) = (a + 2)³ + 2(a + 2)

A(a + 2) = (a + 2)²(a + 2) + a 4

A(a + 2) = a³ + 4a² + 4a + 2a² + 8a + 8 + 2a + 4

A(a + 2) = a³ + 6a² + 14a + 12

Ejercicio:

f(x) = 1 - x²

a) f(1 + h)

b) f(2 + h) – f(2)

a)  f(1 + h) = 1 – (1 + h)²

     f(1 + h) = 1 – (1² + 2(1)(h) + h²)

     f(1 + h) = 1 – (1 + 2h + h²)

     f(1 + h) = 1 - 1 – 2h - h²

     f(1 + h) = - h² - 2h

b) f(2 + h) = 1 – (2 + h)²                                                f(2) = 1 – (2)²

     f(2 + h) = 1 – (2² + 2(2)(h) + h²)                               f(2) = 1 - 4

     f(2 + h) = 1 – (4 + 4h + h²)                                       f(2) = -3

     f(2 + h) = 1 – 4 – 4h - h²

     f(2 + h) = - h² - 4h - 3

f(2 + h) – f(2) = -h² - 4h – 3 – (- 3)

f(2 + h) – f(2) = -h² - 4h > 0

                          ( 0 , ∞ +)

GRAFICAS

f(x) = x – 3/2

g(x) = √x

SUMA:                                                                            RESTA:

(f + g) = x – 3/2  +  √x > 0    (0,∞+)                                (f – g) = x – 3 /2  -  √x > 0    (0,∞+)

   

MULTIPLICACION:                                                       DIVICION:

(f * g) = x – 3/2  *  √x > 0    (0,∞+)                                 (f /g) = x – 3/2  /  √x > 0    (0,∞+) 

   

EJERCIO:

f(x) = x² - 9

g(x) = 3x

SUMA:

(f + g) = x² - 9 + 3x > 0    (0,∞+)

RESTA:

(f – g) = x² - 9 - 3x > 0    (0,∞+)

MULTIPLICACION:

(f * g) = x² - 9 * 3x    

           =  x³ - 27x > 0    (0,∞+)

DIVICION:

(f/g) = x² -9 / 3x > 0    (0,∞+)